ジャズピアニスト若井優也のブログ: 学問

センターの冬

Thu, 05 Jan 2006 18:02:20 GMT

それは2年前のこと。

今でも鮮明に記憶しています。

新年早々、ろくに勉強もせずにテニスとマリオカートに励んでいました。

センター試験直前に青パックなんぞやってみれば国語が92点とか　（注；国語は200点満点）。

倫理の過去問やってみれば70点とか。

化学60点とか。

まじクソっすよって点数ばかり叩き出してましたが、それでもなお部の連中とサッカー大会とかやってました

（注；当時の俺の所属は囲碁将棋部）。

思い起こせばセンター試験前日も夜まで部室でマリオカートやってた。

センター2日目終わった直後も、囲碁将棋部に集合して、全教科の答え合わせとマリオカートでした。

しかしまぁ必死こいて頼み申し上げれば神様仏様もサイコロを振ってくださったりするものでして。

　　数学IA100点、数学IIB100点、英語198点、国語168点、倫理90点、云々・・・

、、、とありえんくらいの高得点が出まくってしまったわけです。

マークシート万歳。

それがまた他の部員も揃いに揃って神がかった点数を叩き出していまして。

これもすべてマリオカートのおかげだと言ってみんなで喜び合いました。

今思うと、皆してよくここまで受験戦争をナメてたものです。

そんな懐かしい記憶の蘇るこの季節。

ふとしたきっかけで、今日センター英語2005年の本試験を解いてみました。

渋谷のスタバで80分間しっかりと計りながら。

俺が受験した2004年の問題に比べるとずいぶんと難しい印象がありました。

紛らわしい選択肢やヒッカケ問題が多いし、長文もいつもより難しいイメージ。

それでも195くらい行ったかなぁ、とか期待しつつ答え合わせをしてみたら、案の定5問ミスで186点。

あらららら。

昔っから英語にはちょいと自信があっただけに、この結果にはしょんぼりでした。

大学に入ってから英語を真剣に勉強しなくなったせいか、

はたまた自分の英語力を今まで過大評価しすぎてたのか。

いずれにしても、英語とまた一から向き合いなおさなければなぁ、と痛感させられた日でした。

P.S. 受験生のみなさん、積もる雪に一段と寒さを増すころとなりましたが、

　　　どうか体調管理には十分気をつけて、センター試験がんばってきてください。

第４学期の履修予定が決まりましたよ

Thu, 06 Oct 2005 06:43:58 GMT

いつの間にやら2年生の後期になってしまいました。

時の流れは速いものですね。

さてと、ようやく進学振り分けも終わり、

工学部応用物理計数工学科への進学がなんとか内定しました。

今学期からは教養学部と工学部の授業をごちゃ混ぜで受けることになりました。

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　　　　　　　　１　　　　　　　　　２　　　　　　　　　３　　　　　　　　　４　　　　　　　　　５

月　　　　　　休　　　　　　基礎数理　　　　生産の技術　　数学力学演習　数学力学演習　

火　　　電磁気学第一　　　　休　　　　　　　　　休　　　　　　　　休　　　　　　　数学ⅠＤ

水　　　　数値解析　　　　　英語Ⅰ　　認識行動システム　回路とシステム　　　物理数学

木　　　計測通論Ｃ　　ドイツ語一列　　　　生命科学　　　　　　休　　　　　生命科学概論

金　計算機科学概論　量子力学第一　　半導体概論　　　統計熱力学　　　　　休

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まぁ、なんと忙しいこと（ぉ

というかこのふざけた火曜の時間割はなんなんだ。

１＆５限切りたいけどこれがまた必修なのです。

うぜー。

しかし授業の内容は今までより専門的かつ面白そうなので、若干期待です。

一限登校辛い。

とりあえず2日間達成。

第3学期の履修予定！

Fri, 15 Apr 2005 16:22:55 GMT

先学期までの成績があまりにひどかった（クラスWorst5・・・）ので、

今学期こそは真面目に勉強していい成績を取ろう！

ということで履修予定を真面目に考えてみました。

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　　　　　　１　　　　　　　２　　　　　　　　３　　　　　　　４　　　　　　　５

月　　独語二列　　数理科学Ⅳ　基礎実験　　基礎実験　　　量子論

火　　　おやすみ　数理科学Ⅱ　現代教育論　　　卓球　　人間行動基礎論

水　　　おやすみ　　　　英語Ⅰ　　　おやすみ　　ミクロ経済学　　おやすみ

木　　社会統計学　仏語初級　　物性化学　　　独語一列　　独語初級

金　　数理科学Ⅰ　数理科学Ⅲ　　おやすみ　　　独語一列　　　中級英語

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なんと週20コマも入れてしまいました。

うへーやばいやばい。

つーか取る科目に偏りがありすぎですね（＾＾；

必修科目以外はほとんど語学と数学で埋めつくしました。

うちの大学は第3学期終了時に進学先の振り分けがありまして。

いわゆる"進振り点"の高い人から順に、優先的に行きたい学部へ行くことができるのです。

"進振り点"は、必修科目（外国語などの基礎科目）と

総合科目（文系・理系系列から各8単位以上、計25単位）の点数の総平均点で決まるものなのです。

というかこの"進振りシステム"で文系教科が要請されてることを知ったのがつい先週のことなのです。

何も知らなかった俺は文系教科なんて真面目に勉強するはずがなく、

現時点で「可（50～64点）」が6単位しか来てないという極めて悲惨な状態なのです。

まじ凹みます。

つまり今回語学を多めに取ったのは、文系教科の平均点をどかーんと上げるためなのです。

まぁしかしこれで進振り点を上げまくって何とか80点くらいはいくんじゃねーかな、とか期待してるわけです。

調子に乗って第三外国語でフランス語もとってみました。

フランス語超楽しいです。

でも早くもドイツ語と混ざり始めてます。。

ちなみに数学を多く取ったのはただの趣味です（汗

あとはこのやる気がいつまで続くか、ですね。。。

けっこう尻に火がついてるので今回ばかりは真面目にやり通すつもりですが。

とりあえず来週の火曜に構造化学の追試があるのでそれをがんばらねば。

つーか誰かリアルで勉強教えてくれ＾＾；

※　何度も宣伝しちゃいます。　※

4/18(月)19:30～吉祥寺「赤いからす」にて

"松下カルテット"で3ステージ演奏します。

お時間ある方はぜひ聴きにきてください！

大学はじまる。

Sat, 09 Apr 2005 02:42:25 GMT

とうとう2年夏学期が始まってしまいました。

最初くらいがんばって1限から出席しようと思って8時に起きてメシ食って学校へ直行。

1限何とか間に合う。

30分経っても教官来ない。まさか寝坊したのか？

ってことで結局１限は休講になってしまいました。

寺杣教官死んでください。。

2限は数理科学III、3限は国コミ（英語精読）、4限は独語を受けました。

いやー、最近大学が楽しい。勉強も楽しい。

昨年はほんと大学辞める勢いでどうなることやらと（自分自身を）心配してましたが

どうやらその心配はもうなさそうです。

そーいえば成績表もらってきました。

うちの大学は「優（80～100）」「良（65～79）」「可（50～64）」「不可（50未満）」の4段階で評価が出ます。

数学演習Ⅰ、数学演習Ⅱ、図形科学、振動波動論、身体スポーツが優。

基礎実験、英語一列、英語二列、独語一列、数学Ⅰ、数学Ⅱ、基礎統計、数理情報一般が良。

残りの科目は全部可＆不可でした。

構造科学にいたっては必修科目なのに不可りました。

我ながらあっぱれ。

追試験願ださなきゃ。。

そして5限は受けずに本郷に向かう。

コーヒーカップに渦ができるわけ

Mon, 04 Apr 2005 01:19:24 GMT

たまには数学の話でもしてみようと思います。

（数学は俺の趣味です。嫌な趣味を持ったものです。。。）

コーヒーカップの中のコーヒーをかき回すと、カップの水面には必ず渦が起きます。

あるいは、地球上には必ず無風点が存在します。

また、頭には必ずつむじが存在します。

（ツクツク頭や禿頭は例外ですが。その理由は後ほど書こうと思います）

これらはすべて、「不動点定理」というものの具体的な現象だと言えます。

「不動点定理」とは何ぞ。

簡単のため、ここでは Brouwer の不動点定理というものを紹介しておきます。

------------------　Brouwerの不動点定理　-------------------

B^n を n次元球とする。

B^n から B^n への連続写像 f: B^n → B^n について,

必ずある P∈B^n が存在して、f(P) = P となる。

ここでの P を f の不動点と言う。

※　n次元球とは { (x_1, x_2, ..., x_n) ∈ R^n | Σ_{i} x_i^2 ≦ r^2 }.のことです。

n=1の場合は線分、n=2の場合は円盤、n=3の場合は球のことを指します。

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イメージを湧かせるために n=1 の場合で次のようなことを考えてみます。

いま、長さ1のゴムひもがあって、これを両側からゆっくりと引っ張ってみましょう。

左端はより左側に、右端はより右側に来るように、直線的に（一次元的に）引っ張ります。

このとき、始めの位置から少しもずれていない点が少なくとも1つ存在するぞよ、

というのが不動点定理の主張です。

その理由は意外と簡単に説明できます。

いま、x軸上に長さ1のゴムひもを置き、左端をx=0, 右端をx=1としましょう。

引っ張ったあとの位置を f(x) とすれば、閉区間 [0, 1] を定義域とする連続関数 f が定まります。

このとき左端はより左側に、右端はより右側に来るので、f(0)<0, f(1)>1 です。

ここで g(x) = f(x) - x と置けば、g も [0, 1] を定義域とする連続関数であり、g(0)<0<g(1) ですね。

そこで g に中間値の定理を適用すると、

ある 0<c<1 が存在して g(c)=0, 即ち f(c)=c となることがわかります。

この x=c こそが不動点だ、というわけです。

そしてこれが一般にn次元空間上の球体について成立するよ、というのが Brouwer の不動点定理です。

この定理の証明はトポロジーの華とも言うべきもので、

きわめてエレガントなものなのですが、ここでは割愛します。

しかしトポロジカルに証明することができるということはつまり、

この定理は B^n の代わりに球体と同相なものなら何でも成り立つことになります。

（たとえば B^2 の代わりに正方形や楕円を選んでもよいということです。）

最初の例では、コーヒーカップの水面が円盤 B^2 （もしくはそれと同相な図形）で、

水の動きは B^2 から B^2 への連続写像であり、それは定理より不動点を有するので、

水面には必ず少なくとも1つの渦が存在する、という結論に達します。

地球上の無風地帯も同様に、不動点定理よりその存在が保証されます。

つむじも全く同様です。

ただし髪が全面に立っている場合や禿頭の場合は、

頭皮上のすべての点が不動点になってしまいます。

これではつむじと呼ぶことはできないですよね。笑

不動点定理の応用として、たとえば微分方程式 df/dx = f の解を考えるとき、

関数空間 A の中で f に df/dx を対応させる A から A への写像の不動点が解だと言えます。

このように微分方程式の解の存在は不動点の問題に帰着できます。

また経済理論やゲーム理論の均衡解の存在定理などにも用いられているそうです。

不動点定理、恐るべし。

参考文献：「数学100の定理～ピタゴラスの定理から現代数学まで」（日本評論社）

電磁気学、マクスウェル方程式。

Wed, 09 Feb 2005 09:54:39 GMT

電磁気学、すげぇー。

大学入って勉強できてほんとよかったって初めて実感できた気がする。

以下、電磁気学のすごさを延々と語りたいと思います。

と言っても大学1年の内容しか勉強してないので詳しくは語れませんが。

理系の人はこの衝撃をぜひとも共有してください。

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（ベクトル量は大文字、それ以外は小文字で書きます。）

電磁場に対する4つの基本方程式（マクスウェル方程式）は以下の通りです：

　(01)　∇・Ｅ＝ρ/(ε_0)

　(02)　∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂t

　(03)　∇×Ｂ＝(ε_0)(μ_0)(∂Ｅ./∂t)＋(μ_0)ｊ

　(04)　∇・Ｂ＝0

(04)式は磁束密度Ｂの湧き出しがないことを示しているので、ベクトルポテンシャルＡを導入して

　(05)　Ｂ＝∇×Ａ

とすることができます。(2)(5)式に注目すれば、あるスカラーポテンシャルφが存在して

　(06)　Ｅ＝－(∂Ａ/∂t)－∇φ

と書けることがわかります。静電場の場合とは違って、

一般の電場はベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルの両方を使って書けるわけです。

ここで任意のスカラー関数χを用いて

　(07)　Ａ'＝Ａ＋∇χ,　φ'＝φ－(∂χ/∂t)

と変数変換すると（これをゲージ変換と言います）、

Ａ'とφ'も全く同じＥとＢの表式を与えることは容易にわかります。

ポテンシャルに対する付帯条件として

　(08)　φ＝0

　(09)　∇Ａ＋(1/c^2)(∂φ/∂t)＝0

を課すことができます。後者はローレンツ条件と呼ばれます。

スカラーポテンシャルφについて、(01)式とローレンツ条件(09)式から

　(13)　Δφ－(ε_0)(μ_0){(∂/∂t)^2}φ＝－ρ/(ε_0)

となります。またベクトルポテンシャルＡについても,、

　(14)　ΔＡ－(ε_0)(μ_0){(∂/∂t)^2}Ａ＝－(μ_0)ｊ

となります。

特に真空中ではρ＝0, ｊ＝０とすることができます。

(2)(3)式それぞれの両辺の回転を取る（∇を左から外積として掛ける）と

　(15)　ΔＥ＝(ε_0)(μ_0){(∂/∂t)^2}Ｅ　

　(16)　ΔＢ＝(ε_0)(μ_0){(∂/∂t)^2}Ｂ

が導かれます。このとき(13)～(16)はすべて波動方程式であり、

いずれも波動として1/√{(ε_0)(μ_0)}の速さで伝播することがわかります！

これが光速cに等しいことは有名事実ですよね。

（光が電磁波の一種であることの一つの重要な根拠です。）

ＥとＢが常に直交し振幅が常に比例する関係にあることも(01)～(04)式から容易に導かれます。

さて、ここからがまたすごいのです。

　(17)　ｘ＝(x_1, x_2, x_3, x_4)＝(x, y, z, ict)

なる「4元座標」を導入します。するとψ（＝Ｅ, Ｂ, Ａ, φ）についての波動方程式は

　(18)　□ψ＝0

と対称的に書くことができます。

ここでダランベール演算子 □＝Δ-(∂/c∂t)^2 を用いました。また

　(19)　ｊ＝(j_1, j_2, j_3, j_4)＝(j_x, j_y, j_z, icρ)

なる「4元電流」を導入すると、電気量保存則も

　(20)　□ｊ＝0

と対称性を持った形で書けてしまいます。

このように時間と空間座標を同等に扱う理論形式は共変形式と呼ばれます。

さらにベクトルポテンシャルＡについて、

　(21)　Ａ＝(A_1, A_2, A_3, A_4)＝(A_x, A_y, A_z, iφ/c)

なる「4元ポテンシャル」を導入すると、マクスウェル方程式はただ一つの方程式、

　(22)　□Ａ_j＝－(μ_0)ｊ_j

で書けてしまうのです！

なお、ローレンツ条件(09)式についても、これらの概念を用いれば

　(23)　Σ[k=1,4]∂A_k/∂x_k＝0

と書いてしまうことができます。

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電磁気学、あまりに美しすぎると思いませんか。

古典力学や解析力学も（数学的に）非常に美しい理論ですが、

それ以上の、何と言うか、秘められた美しさを感じてしまいます。

神が宇宙を創造したとき、すでにこのようなことが意図されていたんでしょうか。

それとも人間の自然に対する認識の仕方があまりにトリッキーなだけなのでしょうか。

いずれにしても電磁気学、すげぇー。

ってか人間ってすげぇー。

参考文献：岩波基礎物理シリーズ③「電磁気学」

冬学期試験のはじまりはじまり

Tue, 01 Feb 2005 16:35:44 GMT

1限、マクロ経済学。一度も講義に出たことが無いし、そもそも教科書買ってない。

でもまぁお試し受験してみるか！ってことで早起きして大学へ。
当然ほとんどの問題がわけわからんわけで。10分くらいで回答し終わってしまった。

こんな問題が出た。

-------------------------------
１．次の語句を2行以内で説明せよ。
(5) 完全失業者
-------------------------------

はぁ？とか思いつつ解答欄に「無職の人」って書いた。これって間違ってます・・・？

2～3限、昼寝。

4限、高校時代の同級生とおしゃべり。

5限、基礎統計。

1時間前から試験勉強を始めるものの、無駄だということに気づいて諦める。
昨日買ってきたばかりの関数電卓を用意するが、使い方を知らないことに気づいて焦る。

ポアソン分布（Po(λ)＝e^(-λ)λ^x/x!に従う確率分布のことじゃ！）の計算問題が出た。
ところが電卓で「Exp(-4)」と打ち込むと、何と答えが「1×10^(-4)」と出やがる。
はぁー？ナメてんのかこの電卓。

4000円もしたくせに！糞っ！

とか思いつつ10分くらい悩んで、何と「Exp」ってキーがもう一つあることに気づく。
ぉぃぉぃ、そういう紛らわしいのやめてくれよ。。

これ不可ってたらCASIOのせいだ！訴えてやる！

ところでもう一つ、うざい問題が出たので紹介。

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１．「統計のウソ」という言葉がある。なぜこのようなことが言われるのか、例を挙げて論ぜよ。
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・・・・・・んなこと知るかよ！！！

2005年問題

Sun, 23 Jan 2005 09:53:54 GMT

俺は毎年年賀状に数学の問題を一問ずつ載せるようにしているのです。

今年は2005年なのでこんな感じ。

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　　　　　　　　　　謹　賀　新　年

　　　　　　今年もよろしくお願い致します。

　　　　　　　　　　2005年問題

　　　x^2+y^2=2005^3 を満たす自然数の組

　　　　(x, y) を一組以上見つけてください.

　【2004年問題・結果発表】　[正解: 2004]

　　応募総数：13通

　　正解者：以下の10名（応募順・敬称略）

　　　　○△●？、□☆▲○、●○★□、・・・

　　今年も多数の方の参加を期待しています。

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うははは。。

キモい年賀状ですよね、傍から見ると。

でもこれが意外と同級生、先輩、後輩の間では好評なのです（笑）

みんな毎年真剣に解いてメール送ってきてくれます。

そして今年もすでに正解者が13人（！）も出ている。

今のところ最年少が高校2年生、最年長が社会人で25歳かな。

このブログをご覧になっている皆さんも解いてみては如何でしょうか。

ちなみにプログラムを組んだりする必要は全くないわけで、

ちょっと工夫をすればすぐに解は見つかります。

すべての解を手計算で見つけてくれたやつもいました。

（ちなみに年賀状39枚もらっといて、お年玉は一枚も当たらず。悲しい。。。）